整数的内存分区#

整数（int）共有4个字节32比特，其中最高位表示符号位，1表示负数，0表示正数。
我们可以用图像表示：
数值位用31位的二进制表示整数的绝对值，符号位通过0和1表示整数的正负，我们也可以由此得出整数的取值范围为-(2^32^ -1)~2^32^-1。
需要注意的是，最高位并不一定代表是最高地址，这与编译器大小端的问题相关。

原码还是补码？#

如果我们用符号位的01表示正负，把绝对值转换成二进制的话，我们就得到了整数的原码。
比如2的原码就是00000000000000000000000000000010，
-9的原码就是10000000000000000000000000001001。 但是仅仅是这样是有问题的，原码的存储方式会出现运算的问题，
比如如果我要计算1 + (-1)，用原码就是10000000000000000000000000000001 + 00000000000000000000000000000001 = 10000000000000000000000000000010，得到的不是0，而是-2！
因此整数的存储采取了补码的存储方式，正整数的原码和补码是一样的，负整数把原码除了符号位全部取反，得到反码，反码再+1就可以得到补码，这样我们就可以实现加减法运算的统一。
从补码倒推回原码有两种方法，第一种是按照得到补码的过程倒推，补码-1再取反。另一种是补码取反再+1。二进制一般都喜欢加法不喜欢减法所以我更推荐第二种，电脑也是采用的第二种，因为计算过程相同，不需要额外的电路。

浮点数的表达式#

根据国际标准IEEE（电气和电子工程协会）的规范，任意⼀个二进制浮点数V可以表示成：V = (-1)^S * M * 2^E 以32位的浮点数为例，浮点数在内存中的存储位置如下所示：

其中S取值为0、1，表示浮点数正负，M为有效数字，用二进制表示，E为指数。

有效数字M#

1.M的取值范围
由于有E的指数表示，故M的取值范围仅限于1到2。 2.M的表达方式
不妨以十进制的小数进行引入，对于小数9.1，我们对小数乘进制数10，9.1就会进一位，变为91，因此我们认为小数点后一位的1的值是10^-1^。对小数除以进制数10，得到0.91，因此小数点第二位是10^-1^/10 = 10^-2^，以此类推，得到小数点后n位的值是10^-n^。 换到二进制，我们不妨以0.1来举例，乘上进制数2，得到1，因此小数点后一位表示2^-1^ ，按照上面的思路倒推，就可以得出小数点后n位的值为2^-n^。
比如我要表示1.75 ，拆分开来就是2^0^+2^-1^+2^-2^=1.11。
但我们也要意识到这样的表示方法有一定的局限性，那就是无法精确地表示每一个小数，只能用类似于二分法的方式不断逼近，因此有时候会存在一定的误差。
3.M的存储方式
由于M的个位始终是1，因此为了节省内存，我们选择不存放开头的1，而是多出来1bit提高有效数字的精度，因此M在内存中只记录小数点后的表达式。
比如表示1.625 = 1.101，M在内存中就是10100000000000000000000。

指数E#

指数E起到了进位的作用，通过把M的小数点后移，把浮点数取值范围从1到2扩大并保持一定的精度。 取值范围要求E既能保证浮点数能够充分接近于零，还能达到较大的取值范围，而E又是无符号的整数，因此在标准中规定E的中值为127，也就是说，表达式中的2^E^实际上代表的是2^E-127^，这里的E表示对是E的存储区域得到的E的值。

因此如果我们要表示任意一个取值范围内的浮点数，只需要写成二进制的表达式，把阶数存放进E，有效数字存放进M即可。

读取浮点数#

我们现在来试试根据内存存储来倒推浮点数的值： 对于1 10001000 11010000000000000000000 符号位：S = 1，表示负数 指数位：E = 10000010 = 130，2^E^ = 2 ^3^ 有效数字：M = 1.1101 V = (-1)^S * M * 2^E = 14.5 我们可以用代码来验证我们的结论

1
#include <stdio.h>
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#include <stdint.h>
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#include <string.h>
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int main(void) {
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    float f;
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    uint32_t bits = 0x41680000u;
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    memcpy(&f, &bits, sizeof f);
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    printf("%f\n", f);
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    return 0;
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}
12
>>>14.500000

浮点数的失真#

虽说浮点数因为E的存在取值范围可以非常接近于0，也可以达到2^128^的数量级，但是浮点数仍有他的缺点，由于32位浮点数有效数字位只有23位，因此在大于2^24的时候会失真，在接近0的极小值也会被强制转换成0。从下面的代码就能看出，在超出有效数字的表示范围后，大数会失真，虽然都是0.0000，但是x被强制转换成了0

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#include <stdio.h>
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#include <float.h>
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int main(void) {
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    float f;
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    f = (float)_CRT_INT_MAX - 1;
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    printf("%d\n", _CRT_INT_MAX);
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    printf("%f\n", f);
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    float x = 1e-50f;
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    printf("%.40f\n", FLT_MIN);
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    printf("%.40f\n", x);
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    // 检查是否真的为0
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    if (x == 0.0f) {
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        printf("x精确等于0\n");
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    }
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    if (FLT_MIN != 0.0f) {
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        printf("FLT_MIN不等于0\n");
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    }
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    return 0;
20
}
21
>>>2147483647
22
2147483648.000000
23
0.0000000000000000000000000000000000000118
24
0.0000000000000000000000000000000000000000
25
x精确等于0
26
FLT_MIN不等于0